Matematika za srednje šole in gimnazije

Aritmetika je ena od dveh najstarejših panog matematike (druga je geometrija). Ime aritmetika izvira iz grške besede aritmos – število. Pojem števila je verjetno prvi abstraktni pojem, ki se je izoblikoval pri naših prednikih. Rhindov papirus, ki izvira približno iz leta 1650 pr. n. št. vendar pa prepis starejšega teksta, kaže, da so stari Egipčani obvladali osnovne računske operacije s celimi števili, pa tudi z ulomki. Egipčani so zlasti radi preoblikovali necela števila v vsoto ulomkov s števcem 1. Pogovorno aritmetika pomeni računstvo.

Lógika (grško lógos – beseda, smisel, misel, načelo) je filozofski nauk o mišljenju ter njegovih zakonitostih. Logika v ožjem smislu je znanost o pravilnem sklepanju. Tradicionalno je logika filozofska disciplina, v 19. stoletju pa je postala tudi del matematike in kasneje računalništva. Utemeljitelj logike je slavni grški filozof Aristotel.

Línearna fúnkcija je realna funkcija oblike f(x) = kx + n. Graf te funkcije v ravninskem kartezičnem koordinatnem sistemu je premica. Ker dve točki natančno določata premico, lahko graf linearne funkcije narišemo tako, da izračunamo koordinate dveh točk.

Lineárna enáčba je v matematiki algebrska enačba, v kateri je vsak člen ali konstanta ali produkt konstant s prvo potenco spremenljivke. Enakovredno enačbo dobimo, če enačimo polinom prve stopnje z nič. Enačbe se imenujejo linearne, ker predstavljajo premice v kartezičnem koordinatnem sistemu. Običajno zapišemo linearno enačbo dveh spremenljivk x in y kot:

y = kx + n

Geometríja je znanstvena disciplina matematike, ki se ukvarja s prostorskimi značilnostmi teles in njihovimi medsebojnimi odnosi. Geometrija je zgrajena na sestavu aksiomov, izkustveno ali intuitivno določenih značilnosti prostora, ki jih ne moremo dokazati z osnovnejšimi zakonitostmi. Geometrija je ena najstarejših znanosti.

Potencíranje je dvočlena matematična operacija, ki jo zapišemo v obliki aⁿ. To obliko zapisa imenujemo potenca. Število a se imenuje osnova ali baza potence, število n pa je eksponent ali stopnja potence.

Korénjenje je matematična operacija, ki deluje obratno kot potenciranje. Korenjenje zapišemo s simbolom

(beri: n-ti koren iz a). Število a imenujemo korenjenec ali radikand, število n pa je stopnja korena ali korenski eksponent (n je običajno naravno število). Korenjenec označimo z vezno črto.

Kvadrátna fúnkcija je realna funkcija, ki se jo da zapisati z enačbo oblike:

SLIKA

kjer so koeficienti a, b in c realna števila in je a različen od 0 (če bi bil a enak 0, bi bila to linearna funkcija). Enačbo te oblike imenujemo splošna oblika enačbe kvadratne funkcije.

Kvadratna enačba je v matematiki enačba, ki se jo da zapisati v obliki:

SLIKA

pri čemer je število a različno od 0.

Koeficienti a, b in c so po navadi realna števila (v višji matematiki lahko tudi kompleksna števila).

Množica kompléksnih števíl predstavlja razširitev realnih števil, v kateri lahko korenimo tudi negativna števila. Kompleksna števila vsebujejo imaginarno enoto SLIK  (v elektrotehniki zasledimo tudi oznako SLIKA), kjer je SLIKA . Kompleksna števila so oblike SLIKA , kjer je x realni del kompleksnega števila, y pa imaginarni del.

Eksponéntna fúnkcija je matematična funkcija z enačbo oblike f(x) = a^x, pri čemer je število a pozitivno in različno od 1. Število a imenujemo osnova ali baza eksponentne funkcije.

Eksponentna funkcija, ki ima za osnovo Eulerjevo število e≈ 2.718 281 828 se imenujenaravna eksponentna funkcija:f(x) = e^x. To funkcijo se včasih zapiše tudi kot: f(x) = exp x.

Logarítem (starogrško: lógos – beseda + aritmós –število) oziroma logaritemska funkcija je v matematiki funkcija, ki iz eksponentne enačbe SLIKA  vrne eksponent SLIKA. Zapišemo jo v obliki  SLIKA, kjer sta SLIKA. To beremo logaritem x z osnovo a.  x imenujemo logaritem ali pa argument.

Ploščina je v geometriji mera za velikost geometrijskega lika oziroma dela ravnine, medtem, ko je površina merilo za velikost ploskve. Ploščina je v tesni zvezi s površino, ki je vsota ploščin vseh mejnih ploskev telesa. Izraz ploščina praviloma uporabljamo za dvorazsežne objekte (like – dele ravnine), površina pa za trirazsežne objekte (telesa – dele prostora).

V slovenski matematiki je bila dolgo edina oznaka za ploščino mala črka p (začetna črka besede ploščina), v novejšem času pa se uveljavlja tudi velika črka S (začetna črka latinske besede superficium). V tujih jezikih pogosto srečamo tudi oznako A (začetna črka latinske besede area).

Prostornína ali volúmen (oznaka V) je fizikalna količina, ki pove, koliko prostora zaseda telo. Je ena osnovnih termodinamskih spremenljivk. Mednarodni sistem enot predpisuje za prostornino enoto m3. Druge enote za merjenje prostornine so še mikroliter, mililiter, žlička, žlica, tekoča unča, skodelica, pinta, liter, kvart in galona.

Trigonométrične (trigonometríjske) ali kótne fúnkcije so pomembne matematične funkcije. Ime kotne funkcije izhaja iz dejstva, da so rezultati odvisni od kota. Starejše ime za te funkcije je kotomerne ali goniometrične (grško γωνία: lonía – kot) funkcije. Kotne funkcije so pomembne pri proučevanju trikotnikov in pri modeliranju periodičnih pojavov. Na njih sloni trigonometrija. Lahko jih določimo kot razmerja dveh stranic pravokotnega trikotnika, ki oklepata kot, ali še bolj splošno kot razmerja koordinat točk na enotskem trigonometričnem krogu, oziroma kot neskončne vrste.

Polinóm, mnogočlénik ali veččlenik stopnje n, je linearna kombinacija potenc z nenegativnimi celimi eksponenti. Splošni zapis polinoma

SLIKA

ali krajše

SLIKA

Stóžnica (zastarelo stožérnica, oziroma stožêrnica) je v matematiki dvorazsežna presečna krivulja, ki nastane, če presekamo krožni stožec z ravnino. Stožčeve ali konične preseke je sistematično raziskoval Apolonij, ki je leta 225 pr. n. št. napisal razpravo v osmih knjigah O stožnicah (Razprava o koničnih presekih), od katerih se jih je ohranilo 7, toda 3 samo v arabskem prevodu. Dve znani stožnici sta krožnica in elipsa. Nastaneta vedno, kadar je presek stožca in ravnine sklenjena krivulja. Krožnica je poseben primer elipse, kjer je ravnina pravokotna na os stožca. Če je ravnina vzporedna s kakšno tvorilko stožca, nastane parabola.

SLIKA

Rácionalna fúnkcija je v matematiki funkcija v obliki ulomka, ki ima v števcu in imenovalcu polinom. Po navadi privzamemo, da polinom v imenovalcu ni konstantno enak nič. Racionalna funkcija je definirana za vsak x razen za tistega, ki je ničla polinoma v imenovalcu, ali pri katerem funkcija v imenovalcu sploh ni definirana (kar je posebej treba biti pozoren pri logaritemskih funkcijah).

Kombinatórika je matematična disciplina, ki preučuje, na koliko načinov je možno razporediti, preurediti oziroma izbrati določeno množico elementov. Kombinatoriko pogosto štejemo za pomožno panogo verjetnostnega računa.

Verjétnost

je število, ki nam pove, kolikšna je možnost, da se zgodi neki dogodek. Verjetnost je temeljni pojem matematične panoge, ki jo imenujemo verjetnostni račun. Verjetnost dogodka A označimo s P(A). Črka P izvira iz latinščine: probabilitas = verjetnost.

Zaporédje je v matematiki vsaka množica objektov, po navadi števil, ki je razporejena tako, da je en njen element a0 prvi, en element a1 drugi, en element a3 itd. in lahko za vsako število množice določimo, na katerem mestu zaporedja stoji. Zaporedja kakor množice vsebujejo elementi in posamezna števila v zaporedju imenujemo člene zaporedja. Členi zaporedja so lahko tudi enaka števila, negativna števila, ulomki. Z razliko od običajnih množic je vrstni red členov (elementov) zaporedij pomemben in členi se lahko ponovijo večkrat na različnih mestih. Zaporedje črk {c, r, y} je različno od zaporedja {y, c, r}. Zaporedje je diskretna funkcija.

Limíta je mejna vrednost, ki se ji neka količina približuje. V matematiki je znana:

Limíta zaporédja je število, ki se mu vrednosti členov zaporedja a_n približujejo, ko spremenljivko n povečujemo čez vse meje. Dejstvo, da limita obstaja, imenujemo konvergenca. Dejstvo, da limita ne obstaja, pa imenujemo divergenca.

Limito zaporedja a_n označimo SLIKA

Limita funkcije je definirana s pomočjo limite zaporedja. Naj bo f realna funkcija realne spremenljivke. Imejmo zaporedje xn, ki ima limito a. Za to zaporedje tvorimo ustrezno zaporedje vrednosti yn = f(xn). Če ima dobljeno zaporedje yn limito b in je ta limita neodvisna od tega, kako izberemo zaporedje xn, ki gre proti a, potem število b imenujemo limita funkcije f v točki a.

Odvòd v matematiki predstavlja spremembo funkcije pri spremembi njenega argumenta. Opisuje najboljšo linearno aproksimacijo funkcije v bližini vrednosti funkcije z nekim argumentom.

Integrál je osnova tako imenovane »višje matematike«, natančneje matematične analize in infinitezimalnega računa. Temelje integralskega računa sta postavila Isaac Newton in Gottfried Wilhelm Leibniz v poznem 17. stoletju. Integral funkcije je prek osnovnega izreka infinitezimalnega računa povezan z njenim odvodom, določen integral funkcije na nekem intervalu pa je, ko poznamo nedoločenega, moč enostavno izračunati. Integral in odvod sta postala osnovni orodji infinitezimalnega računa, izjemno uporabnega v znanosti in tehniki.