Matematika za osnovne šole

Racionalna števila

Racionálno števílo je v matematiki število, ki ga lahko izrazimo kot razmerje ali količnik (kvocient) dveh celih števil. Racionalna števila so predstavljena z ulomki oblike a/b, kjer je b različen od nič. Racionalna števila lahko seštevamo, odštevamo, množimo in delimo s pravili za računanje z ulomki.

Vsako racionalno število lahko zapišemo v neskončno mnogo oblikah. Na primer 3 / 6 = 1 / 2 = 2 / 4. Najenostavnejša oblika je, ko a in b nimata skupnega delitelja. Vsako neničelno racionalno število ima natanko eno takšno najpreprostejšo obliko s pozitivnim imenovalcem. Ulomek v najpreprostejši obliki je okrajšani ulomek.

Množico racionalnih števil označimo s Q ali .

Racionalna števila lahko zapišemo tudi z decimalnim mestnim zapisom. Pri tem prvo decimalno mesto za decimalno vejico (ali piko) pomeni desetinke, drugo mesto stotinke, tretje mesto tisočinke, …

Primer:

12,3456 = 12 celih + 3 desetinke + 4 stotinke + 5 tisočink + 6 desettisočink

Geometrija je znanstvena disciplina matematike, ki se ukvarja s prostorskimi značilnostmi teles in njihovimi medsebojnimi odnosi. Geometrija je zgrajena na sestavu aksiomov, izkustveno ali intuitivno določenih značilnosti prostora, ki jih ne moremo dokazati z osnovnejšimi zakonitostmi. Geometrija je ena najstarejših znanosti.

Potencíranje je dvočlena matematična operacija, ki jo zapišemo v obliki aⁿ. To obliko zapisa imenujemo potenca. Število a se imenuje osnova ali baza potence, število n pa je eksponent ali stopnja potence.

Korénjenje je matematična operacija, ki deluje obratno kot potenciranje. Korenjenje zapišemo s simbolom

(beri: n-ti koren iz a). Število a imenujemo korenjenec ali radikand, število n pa je stopnja korena ali korenski eksponent (n je običajno naravno število). Korenjenec označimo z vezno črto.

Pitágorov izrèk je izrek v ravninski geometriji, imenovan po Pitagori, čeprav je bil znan že pred njim:

Vsota površin kvadratov katet pravokotnega trikotnika je enaka površini kvadrata nad hipotenuzo.

Izrek lahko zapišemo tudi kot:

kjer sta a in b dolžini katet, c pa dolžina hipotenuze. To je verjetno najbolj znan pojem iz celotne geometrije. Priljubljeno se imenuje tudi (»Oslovski most«). Posplošila sta ga Hipokrat in Evdoks. Prvi ga naj bi po Evdemu celo dokazal pred Evdoksom. Za pravokotni trikotnik ga je dokazal Evklid v Elementih. Uporabljali so ga že Egipčani in Kitajci v 6. stoletju pr. n. št.

Iz tega lahko izpeljemo, vrednost zac:

Velja tudi nasprotna trditev:

Za poljubna tri pozitivna števila, b in c, za katera velja a² + b²= c², obstaja trikotnik s stranicami a, b in c. V vsakem takšnem trikotniku je kot med stranicama a in b pravi.

Matemátični izràz je zapis sestavljen iz števil, spremenljivk,matematičnih funkcij in operacij ter iz oklepajev, ki določajo vrstni red računanja. Da je tak zapis res matematični izraz, mora biti tudi smiseln: Če namesto spremenljivk vstavimo konkretna števila, mora biti možno izračunati vrednost izraza (vsaj za nekatere vrednosti spremenljivk).

Zgled izraza:

Vrednost tega izraza lahko izračunamo za katero koli vrednost spremenljivke x, razen za x = 0.

Dva matematična izraza sta enakovredna, če imata pri istih izbirah spremenljivk vedno enako vrednost.

Zgled: Zgoraj navedeni izraz

je enakovreden izrazu:

za vsak x dobimo isti rezultat).

Izraz poimenujemo glede na glavno računsko operacijo, ki v njem nastopa – to je računska operacija, ki jo izračunamo nazadnje.

Zgledi:

• izraz (x+ 1)(x + 2) imenujemo produkt izrazov (x + 1) in (x + 2)
• izraz 5a+ 3b − 2c imenujemo vsota izrazov 5a, 3b in −2c
• izraz (2m+ 3)² imenujemo kvadrat izraza (2m + 3)

Izraz, v katerem nastopajo samo osnovne štiri računske operacije (seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje), imenujemo aritmetični izraz. Če v izrazu poleg tega nastopajo še algebrske funkcije kot npr.korenjenje, je to algebrski izraz.

Pri preoblikovanju matematičnih izrazov pogosto uporabljamo naslednja dva postopka:

• faktorizacija (preoblikovanje v produkt faktorjev)
• razčlenjevanje (preoblikovanje v vsoto členov)

Enakost dveh zapisov podaja enačba (velikokrat tudi enakost, npr. Brahmaguptova enakost), neenakost pa neenačba. Pomembnim enačbam velikokrat rečemo formule (npr. binomska formula), oziroma tudi drugače.

Sestav rimskih številk je številski sestav, ki izhaja iz antičnega Rima. Temelji na določenih črkah, ki so jim prirejene številske vrednosti:

I ali i za ena,

V ali v za pet,

X ali x za deset,

L ali l za petdeset,

C ali c za sto,

D ali d za petsto,

M ali m za tisoč.

Sestav ni poznal števila ali znaka za nič.

Enáčba je simbolični zapis za enakost dveh matematičnih izrazov. Izraza imenujemo leva stran in desna stran enačbe. Med njima stoji enačaj (znak =).
Spremenljivke, ki nastopajo v enačbi, imenujemo neznanke. Zgled preproste enačbe z eno neznanko: x+1=2

Če enačba vsebuje samo eno neznanko, je rešitev enačbe tista vrednost neznanke, pri kateri enačaj velja. Če enačba vsebuje nneznank, je rešitev tista n-terica vrednosti neznank, pri kateri enačaj velja. Enačba ima lahko tudi več rešitev (več vrednosti neznanke oziroma več n-teric, pri katerih enačaj velja).

Zgled: enačba x² = 5x − 6 ima dve rešitvi: x₁ = 2, x₂ = 3.

Če je enakost veljavna pri poljubnih vrednostih neznank, taki enačbi rečemo identična enačba (krajše identiteta).
Zgled identične enačbe: (x + 1)² = x² + 2x + 1. Rešitev te enačbe je poljubno število x.
Enačba, ki nima rešitve, se imenuje nerešljiva enačba. Zgled: x + 1 = x + 2.
Enačbi, ki imata enaki množici rešitev, sta med seboj enakovredni ali ekvivalentni. Zgled enakovrednih enačb: 3x = 6 in x + 1 = 3.

Mnogokótnik (tudi vèčkótnik in s tujko poligón) je ravninski geometrijski lik, ki ga oklepa enostavna sklenjena lomljenka. Daljice, ki sestavljajo mnogokotnik, imenujemo stranice mnogokotnika, točke, v katerih se stranici stikata, pa oglišča. Daljice, ki vežejo nesosednja oglišča, so diagonale. V preprostih mnogokotnikih se stranice ne sekajo, stranice pa omejujejo območje z določeno ploščino.

Mnogokotnike imenujemo po številu njihovih stranic. Na primer: štirikotnik (tetragon), petkotnik (pentagon), šestkotnik (heksagon). Za večje število stranic se uporablja oblika n-kotnik, na primer 17-kotnik ali tudi sedemnajstkotnik.