Matematika za fakultete

Odvodi in integrali – Vrste

Vŕsta v matematiki pomeni vsoto zaporedja njenih členov. Vrsta je torej seznam števil z operacijami seštevanja med njimi, na primer kot v aritmetičnem zaporedju:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 99 + 100

V večini zanimivih primerov lahko člene zaporedja, ki ga seštevamo, določimo po določenem pravilu, npr. po enačbi, po algoritmu, po zaporedju meritev, ali jih celo dobimo z generatorjem naključnih števil.

Vrste so lahko končne ali neskončne; v prvem primeru jih obravnavamo z elementarno algebro, v drugem moramo, če jih želimo uporabiti v koristne namene, poseči po orodjih matematične analize.

Zgledi preprostih vrst vključujejo aritmetično vrsto, ki je vsota členov aritmetičnega zaporedja, zapisana kot:

in končno geometrično vrsto, vsoto členov geometričnega zaporedja, ki jo lahko zapišemo kot:

Odvodi in integrali – Limite

Zveznost nas po navadi zanima pri realnih funkcijah realne spremenljivke. Zveznost funkcije v okolici točke a definiramo z definicijo epsilon-delta, ki jo je vpeljal Augustin Louis Cauchy:

Funkcija f je v točki a zvezna, če za poljubno majhno pozitivno število ε obstaja pozitivno število δ, tako da velja:

(Razlaga: če se x za manj kot δ razlikuje od a, potem se f(x) za manj kot ε razlikuje odf(a).)

Zveznost lahko definiramo tudi z limito funkcije: Funkcija je v točki a zvezna, če in samo če je limita v tej točki enaka funkcijski vrednosti, tj.:

Matríka

je v matematiki pravokotna razpredelnica števil ali v splošnem elementov kolobarskih algebrskih struktur. V tem članku so elementi matrike realna ali kompleksna števila, če ni drugače rečeno.

Matrike so uporabne za zapis podatkov, ki so odvisni od dveh kategorij, in za proučevanje koeficientov sistemov linearnih enačb in linearnih transformacij.

Vodoravne črte v matriki so vrstice, navpične pa stolpci. Matrika z m vrsticami in n stolpci se imenuje m×n matrika. m in n sta njeni razsežnosti.

Element matrike A, ki leži v i-ti vrstici in j-tem stolpcu (kjer vrstice in stolpce navadno štejemo od 1 naprej) se imenuje element i,j, oziroma (i,j)-ti element A. To zapišemo kotA[i,j] ali A_i,j, oziroma v C-jevskem zapisu, A[i][j].

Matriko razsežnosti m × n dostikrat definiramo s predpisom A := (a_i,j)_mxn , ki določa, da je element matrike A[i,j] enak a_ij za vse 1 ≤ i ≤ m in 1 ≤ j ≤ n.

Matrika

je 4×3 matrika. Element A[2,3] ali a_2,3 je 7

Kompleksna števila

Množica kompléksnih števíl predstavlja razširitev realnih števil, v kateri lahko korenimo tudi negativna števila. Kompleksna števila vsebujejo imaginarno enoto i (v elektrotehnikizasledimo tudi oznako j), kjer je i² = -1 . Kompleksna števila so oblike x + iy, kjer je x  realni del kompleksnega števila, y pa imaginarni del.

Koristne so tudi naslednje enačbe:

Seštevanje in množenje kompleksnih števil:

Množico kompleksnih števil je z relacijo leksikografske urejenosti po obeh realnih komponentah moč urediti, nikakor pa je ni moč dobro urediti.

Formalno lahko kompleksna števila določimo kot urejen par realnih števil (a,b) skupaj z operacijami:

Tako urejena kompleksna števila tvorijo obseg, označen z znakom C. Realna števila se v množici C zapišejo kot (a, 0). Tako so realna števila podmnožica množice C. Imaginarna enota i je predstavljena kot (0,1).

Množica C ima naslednje posebne elemente:

• identiteto za seštevanje: (0,0)
• identiteto za množenje: (1,0)
• inverzni element glede na seštevanje elementa (a,b): (−a,−b)

inverzni element za množenje neničelnega elementa (a,b):

Linearna algebra

je matematična disciplina, ki se ukvarja s proučevanjem vektorjev, vektorskih prostorov (ali linearnih prostorov), linearnih transformacij in sistemov linearnih enačb. Konkretno upodobitev linearne algebre najdemo v analitični geometriji. Vektorski prostori so osrednja tema sodobne matematike; torej se linearna algebra na široko uporablja v abstraktni algebri in funkcionalni analizi. Zelo je uporabna tudi v naravoslovnih in družboslovnih znanostih.

Vektorji

Véktor (latinsko vector – nosilec; iz vehere – nositi) je v matematiki in fiziki količina, ki ima poleg velikosti tudi smer. Vektorje v dvo- ali trirazsežnem prostoru predstavimo z usmerjenimi daljicami. Usmerjena daljica je daljica, ki ima začetno točko A in končno točko B.

Usmerjeni daljici  in  predstavljata isti vektor , če sta:

– vzporedni,

– enako dolgi in

– enako orientirani (usmerjeni).

Vektorje po navadi označimo s puščico nad imenom, npr.:  . Namesto puščice se pogosto (zlasti v rokopisu) uporablja tudi »harpuno«: . V starejših knjigah so zaradi tehničnih problemov v tiskarni vektorje namesto s puščico označevali s krepkim tiskom, npr.: a, b, c , ponekod pa tudi s počrtajem: a, b, c.

V matematiki velja, da lahko vektor vzporedno prenesemo v poljubno začetno točko, v fiziki pa je marsikdaj pomembno, katero začetno točko (prijemališče) ima vektor.

V matematiki se poleg dvo- in trirazsežnih uporablja tudi posplošene večrazsežne (n-razsežne) vektorje.

Véktorski prôstor

ali lineárni prôstor je osnovni pojem linearne algebre in pomeni posplošitev množice vseh geometričnih vektorjev. Uporablja se v vsej sodobni matematiki.

Naj bo V množica in F obseg (na primer obseg realnih ali obseg kompleksnih števil) in naj bosta definirani naslednji dve operaciji:

– operacija vektorske vsote ali seštevanja vektorjev, označena kot v + w (kjer sta v, w ∈V), in

– operacija množenja s skalarjem, označena kot a * v (kjer sta v ∈ V in a ∈ F).

Množico V tedaj po definiciji imenujemo vektorski prostor nad obsegom F, če velja naslednjih deset značilnosti:

1. v + w pripada V
(Zaprtje V za seštevanje vektorjev.)

2. u + (v + w) = (u + v) + w.
(Asociativnost seštevanja vektorjev v V.)

3. V množici V obstaja nevtralni element 0 tako, da za vse elemente v iz V, v + 0 = v.
(Obstoj aditivne identitete v V.)

4. Za vsak v iz V obstaja element w iz V, da je v + w = 0.
(Obstoj nasprotnih vrednosti v V.)

5. v + w = w + v.
(Komutativnost vektorske vsote v V.)

6. a * v pripada V.
(Zaprtje V za množenje s skalarjem.)

7. a * (b * v) = (ab) * v.
(Asociativnost množenja s skalarjem v V.)

8. Če 1 označuje identiteto za množenje v obsegu F, potem velja 1 * v = v.
(Nevtralnost elementa ena.)

9. a * (v + w) = a * v + a * w.
(Distributivnost glede na seštevanje vektorjev.)

(a + b) * v = a * v + b * v.
(Distributivnost glede na seštevanje v obsegu.)

10. (a + b) * v = a * v + b * v.                                                                      (Distributivnost glede na seštevanje v obsegu.)

Sistem linearnih enačb

ali preprosto linearni sistem je serija linearnih enačb, ki imajo isti nabor neznank. Za primer,

je sistem treh enačb s tremi neznankami, x, y in z. Rešitev linearnega sistema so vrednosti neznank, pri katerih enačaji vseh enačb veljajo. Rešitev zgornjega sistema je tako

saj so pri teh vrednostih vsi enačaji veljavni. V splošnem so tri možnosti: bodisi obstaja točno ena rešitev, bodisi nobena, ali pa je rešitev neskončno. Če ima sistem več kot eno rešitev, jih ima nujno neskončno in je matematično nemogoče, da bi imel recimo točno dve ali tri rešitve.

Matrična oblika

Sistem linearnih enačb lahko zapišemo v matrični obliki, kar močno poenostavi reševanje: lahko uporabimo denimo Gaussovo eliminacijsko metodo, LU razcep ali katero drugo metodo. Tudi računalniški postopki za reševanje navadno uporabljajo matrični zapis. Zgornji sistem zapišemo v obliki: , kjer je A matrika koeficientov, x vektor neznank in b vektor konstant, takole:

Determinanta matrike koeficientov A govori o številu rešitev: če je determinanta različna od nič, so enačbe med seboj neodvisne in rešitev je enolična. Pravimo, da je sistemnesingularen. Če je determinanta sistema enaka nič, je sistem singularen in enolična rešitev ne obstaja.